IL CALCOLO PROBABILISTICO

 

Supponiamo che un’urna contenga 100 palline uguali di forma e di massa e uguali al tatto, di cui 50 sono bianche e 50 sono nere. E’ evidente che la probabilità di estrarre una pallina è uguale a quella di estrarre una pallina nera.

Però se delle 100 palline 75 sono bianche e 25 sono nere, la probabilità di estrarre una pallina bianca è maggiore di quella di estrarre una pallina nera. In tal caso diciamo che i casi possibili sono 100 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 100 palline e i casi favorevoli sono 75 perchè dall’urna possiamo estrarre una qualsiasi delle 75 palline bianche.

Ora si intuisce che c’è una relazione fra il numero di casi possibili e quello dei casi favorevoli. Infatti: la probabilità p(A) che si verifichi un evento A è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli f(A) al verificarsi dell’evento A e il numero n dei casi, ritenuti ugualmente possibili. Quindi:

P(A)=\frac{f(A)}{n}

Nell’esempio considerato, il numero dei casi possibili è 100, quello dei casi favorevoli è 75, per cui la probabilità p che dall’urna venga estratta una pallina bianca è:

p=\frac{75}{100}=0,75

Un altro esempio può essere:

Se in un sacchetto non trasparente, inseriamo 6 palline rosse e 4 nere cioè 10 palline in totale, la probabilità dell’evento:

A=”viene estratta una pallina rossa” P(A)=\frac{f(A)}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

 

Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono incompatibili quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro.

Consideriamo un mazzo da 52 carte e i due eventi:

E_{{1}}: estrarre un asso               E_{{2}}= estrarre un fante

P(E_{{1}}) = \frac{4}{52}= \frac{1}{13}              f= 4 (i 4 assi)      p= 52 (tutte le carte)

P(E_{{2}}) =  \frac{4}{52}= \frac{1}{13}             f= 4 (i 4 fanti)     p = 52 (tutte le carte)

I due eventi E_{{1}} e E_{{2}} si escludono a vicenda; il verificarsi dell’evento E_{{1}} esclude il verificarsi dell’evento  E_{{2}}: non si possono estrarre contemporaneamente un asso e un fante. I due eventi  E_{{1}} e E_{{2}} sono incompatibili.

Se due eventi parziali  E_{{1}} e E_{{2}} sono incompatibili la probabilità che si verifichi l’evento totale, cioè l’evento E_{{1}}  o l’evento E_{{2}} è uguale alla somma  delle singole probabilità.  P( E_{{1}} o E_{{2}}) = P (E_{{1}}) + P (E_{{2}})

Consideriamo la probabilità del seguente evento:

E: estrarre un asso o un fante da un mazzo da 52 carte

I due eventi E_{{1}}: estrarre un asso  e   E_{{2}}: estrarre un fante     si dicono eventi parziali, mentre E: estrarre un asse o un fante si dice evento totale, per cui otteniamo   E= E_{{1}}E_{{2}}

I due eventi parziali sono incompatibili, perchè non possono verificarsi contemporaneamente, quindi:

P(E)= P(E_{{1}}) + P(E_{{2}}) = \frac{4}{52}+ \frac{4}{52}= \frac{8}{52}= \frac{2}{13}0.15  15%

Due eventi aleatori relativi a una stessa prova si dicono compatibili quando il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro.

La probabilità dell’evento E si ottiene applicando la formula : P (E) = \frac{f}{p}

I casi possibili sono 52 come le carte del mazzo; i casi favorevoli sono 4 (numero dei re) più 12 ( numero delle carte di cuori da cui abbiamo escluso il re contato prima), quindi:

P(E)= \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

Si ottiene lo stesso risultato addizionando: P(E_{{1}}) + P(E_{{2}}) e sottraendo la probabilità P (E_{{3}}) dell’evento E_{{3}}: estrarre un re di cuori già compreso in E_{{1}} e in E_{{2}}, quindi:

P(E)=  P (E_{{1}}) + P (E_{{2}}) – P (E_{{3}}) = \frac{4}{52}+ \frac{13}{52}-\frac{1}{52}= \frac{16}{52}

Vedi esercizi

Esercizio n° 1

Calcola la probabilità di ciascun evento.

Data un’urna contenente 10 palline uguali, numerate da 1 a 100, calcola la probabilità:

a) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 6.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 7, 8, 9, 10, quindi sono 4.

I casi possibili sono 10, quindi:

P(E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}     sotto forma di numero decimale si ottiene:

P(E) = 2: 5 = 0,4   e sotto forma di percentuale:

P(E) = 0,4 · 100 = 40%

b) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 10.

Non ci sono casi favorevoli:

P(E) = 0    l’evento è impossibile

c) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero minore di 11.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, quindi sono 10, come i casi possibili.

P(E) = \frac{10}{10} = 1                      è un evento certo

d) di estrarre un multiplo di 3.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 3, 6, 9, quindi sono 3.

P(E) = \frac{3}{10} = 0,3 = 30%

Esercizio n° 2

Nel gioco della tombola sono già usciti i numeri 12 e 21, calcola la probabilità che nella terza estrazione si verifichi uno dei seguenti eventi.

a) Esca il numero 40.

I casi favorevoli sono 1, i casi possibili sono (90 – 2) = 88 perchè a 90 abbiamo tolti i numeri che già sono usciti, quindi la probabilità è:

P(E) = \frac{1}{88}

b) Esca un numero minore di 30.

Poichè i due numeri già estratti sono entrambi minori di 30, i casi favorevoli sono:

(29-2) = 27, quindi:

P(E)= \frac{27}{88}

 

Esercizio n° 3

Lanciando in aria 2 monete qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

I 4 casi possibili sono: Testa-Testa; Testa- Croce; Croce- Testa; Croce – Croce

I casi favorevoli ovviamente sono 2 e cioè Testa – Croce e Croce- Testa. Quindi la probabilità sarà pari a \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Esercizio n° 4

Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola uno dopo l’altro. Qual è la probabilità P che i tre cioccolatini estratti siano al latte?

La probabilità che il primo cioccolatino sia al latte è pari a \frac{8}{12}= \frac{2}{3}. Dopo la prima estrazione, nella scatola sono rimasti 11 cioccolatini di cui 7 al latte e quindi la probabilità che la seconda estrazione dia come risultato un cioccolatino al latte (supposto al latte il primo estratto) è pari a \frac{7}{11}. Allo stesso modo, dopo la seconda estrazione sono rimasti 10 cioccolatini di cui 6 al latte; pertanto la probabilità che il terzo cioccolatino estratto sia al latte è pari a \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Per il teorema delle probabilità composte, la probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi; le tre estrazioni costituiscono eventi indipendenti, che devono avvenire contemporaneamente e quindi la probabilità richiesta è pari a:

P = \frac{2}{3} · \frac{7}{11} . \frac{3}{5} = \frac{14}{55}

Esercizio n° 5

Un’urna contiene 10 palline: 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probabilità che estraendo due palline dall’urna queste siano rosse?

La probabilità che la prima pallina esca rossa è pari a \frac{6}{10}. Dopo l’estrazione, le palline sono diventate 9 e la probabilità che anche la seconda sia rossa è \frac{5}{9}. Quindi la probabilità totale è \frac{6}{10} · \frac{5}{9} = \frac{1}{3}.

Esercizio n° 6

Qual è la probabilità che, lanciando due dadi da gioco tradizionali, la somma delle facce sia uguale a 3?

La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili. Si tratta quindi di valutare quanti sono i casi favorevoli, sapendo che i casi possibili sono 36 = 6 · 6. I casi possibili sono due e cioè : 1 + 2 e 2 + 1.

La probabilità dell’evento è P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Esercizio n° 7

Considera il lancio di un dado e riconosci quali coppie di eventi sono incompatibili e quali compatibili.

a) E_{{1}}: Uscita di un numero pari

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 5

Poichè l’unico multiplo di 5 che si può ottenere è 5 stesso, che non è un numero pari, il verificarsi di un evento esclude l’altro, quindi i due eventi sono incompatibili.

b) E_{{1}}: Uscita di un multiplo di 2

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 3

I multipli di 2 che si possono ottenere sono: 2, 4, 6.

I multipli di 3 che si possono ottenere sono : 3 e 6.

Poichè l’uscita del numero 6 è comune ai due eventi, il verificarsi di E_{{1}}  non esclude il verificarsi di E_{{2}}, quindi i due eventi sono compatibili.

Esercizio n°8

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi incompatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: uscita del numero 5 o di un numero pari nel lancio di un dado.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: uscita del un numero 5

P(E_{{1}})= \frac{1}{6}

E_{{2}}: uscita di un numero pari

P(E_{{2}}) = \frac{3}{6}

I due eventi sono incompatibili, quindi:

P(E)= \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Esercizio n° 9

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi compatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: estrarre una rosa o un fiore rosso da un mazzo di fiori formato da 5 rose rosse, 6 rose gialle, 4 garofani rossi e 4 garofani bianchi.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: estrazione di una rosa

E_{{2}}: estrazione di un fiore rosso

I due eventi sono compatibili: è possibile estrarre una rosa rossa.

Le rose sono (5 + 6) = 11

I fiori rossi sono (5 + 4) = 9

I fiori sono in tutto (5+ 6+ 4+ 4) = 19

P(E_{{1}})= \frac{11}{19}                       P(E_{{2}}) = \frac{9}{19}

Indicato con  l’evento: estrazione di una rosa rossa, si ottiene:

P(E_{{3}}) = \frac{5}{19}     per cui:

P(E) = \frac{11}{19} + \frac{9}{19} – \frac{5}{19} = \frac{15}{19}   Dobbiamo togliere \frac{5}{19} perchè la probabilità di estrarre una rosa rossa già è presente nella probabilità di estrarre un fiore rosso.